Literary sources for Roman mathematics

uideturne uobis debere philosophia haec omnia uestigare et inquirere et cuncta specula, uel uda uel suda soli, uidere? quibus praeter ista quae dixi etiam illa ratiocinatio necessaria est, cur in planis quidem speculis ferme pares optutus et imagines uideantur, in tumidis uero et globosis omnia defectiora, at contra in cauis auctiora; ubi et cur laeua cum dexteris permutentur; quando se imago eodem speculo tum recondat penitus, tum foras exerat; cur caua specula, si exaduersum soli retineantur, appositum fomitem accendant; qui fiat ut arcus in nubibus uarie, duo s soles aemula similitudine uisantur, alia praeterea eiusdem modi plurima, quae tractat uolumine ingenti Archimedes Syracusanus, uir in omni quidem geometria multum ante alios admirabilis subtilitate, sed haud sciam an propter hoc uel maxime memorandus, quod inspexerat speculum saepe ac diligenter.

consules legat, annos computet, quos sexaginta mulieri adsignabat. probet quinque et quinquaginta: lustro mentitus sit. ut cum quadruplatore agam, bis duplum quinquennium faciam, uiginti annos semel detraham. iube, Maxime, consules computari: nisi fallor, inuenies nunc Pudentillae haud multo amplius quadragensimum annum aetatis ire. si triginta annos pro decem dixisses, posses uideri computationis gestu errasse, quos circulare debueris digitos adgessisse. cum uero quadraginta, quae facilius ceteris porrecta palma significantur, ea quadraginta tu dimidio auges, non potes digitorum gestu errasse.

Thales Milesius ex septem illis sapientiae memoratis uiris facile praecipuus—enim geometriae penes G r aios primus repertor et naturae rerum certissimus explorator et ast r orum peritissimus contemplator—maximas res paruis lineis repperit: temporum ambitus, uentorum flatus, stellarum meatus, tonitruum sonora miracula, siderum obliqua curricula, solis annua reuerticula, i ti dem lunae uel nascentis incrementa uel senescentis dispendia uel deli n quentis obstacula. idem sane iam procliui senectute diuinam rationem de sole commentus est, quam equidem non didici modo, uerum etiam experiundo comprobaui, quoties sol magnitudine sua circulum quem permeat metiatur.

item continet memoria numerorum dimensionumque rationes et leges innumerabiles, quarum nullam corporis sensus impressit. vidi lineas fabrorum vel etiam tenuissimas, sicut filum araneae, sed illae aliae sunt, non sunt imagines earum quas mihi nuntiavit carnis oculus. sensi etiam numeros omnibus corporis sensibus quos numeramus, sed illi alii sunt quibus numeramus, nec imagines istorum sunt.

nomino numeros quibus numeramus; en adsunt in memoria mea non imagines eorum, sed ipsi.

sicut aliter scitur rectitudo linearum seu veritas figurarum, cum intellecta conspicitur, aliter cum in puluere scribitur.

Haec autem propter senarii numeri perfectionem eodem die sexiens repetito sex diebus perfecta narrantur, non quia Deo fuerit necessaria mora temporum, quasi qui non potuerit creare omnia simul, quae deinceps congruis motibus peragerent tempora; sed quia per senarium numerum est operum significata perfectio. Numerus quippe senarius primus completur suis partibus, id est sexta sui parte et tertia et dimidia, quae sunt unum et duo et tria, quae in summam ducta sex fiunt. Partes autem in hac consideratione numerorum illae intellegendae sunt, quae quotae sint dici potest; sicut dimidia, tertia, quarta et deinceps ab aliquo numero denominatae. Neque enim exempli gratia quia in nouenario numero quattuor pars aliqua eius est, ideo dici potest quota eius sit; unum autem potest, nam nona eius est; et tria potest, nam tertia eius est. Coniunctae uero istae duae partes eius, nona scilicet atque tertia, id est unum et tria, longe sunt a tota summa eius, quod est nouem. Itemque in denario quaternarius est aliqua pars eius; sed quota sit dici non potest; unum autem potest; nam decima pars eius est. Habet et quintam, quod sunt duo; habet et dimidiam, quod sunt quinque. Sed hae tres partes eius, decima et quinta et dimidia, id est unum et duo et quinque, simul ductae non complent decem; sunt enim octo. Duodenarii uero numeri partes in summam ductae transeunt eum; habet enim duodecimam, quod est unum; habet sextam, quae sunt duo; habet quartam, quae sunt tria; habet tertiam, quae sunt quattuor; habet et dimidiam, quae sunt sex; unum autem et duo et tria et quattuor et sex non duodecim, sed amplius, id est sedecim, fiunt. Hoc breuiter commemorandum putaui ad commendandam senarii numeri perfectionem, qui primus, ut dixi, partibus suis in summam redactis ipse perficitur; in quo perfecit Deus opera sua. Vnde ratio numeri contemnenda non est, quae in multis sanctarum scripturarum locis quam magni aestimanda sit elucet diligenter intuentibus. Nec frustra in laudibus Dei dictum est: Omnia in mensura et numero et pondere disposuisti.

Hoc itaque satis sit admonere, quod totus inpar primus numerus ternarius est, totus par quaternarius; ex quibus duobus septenarius constat.

Eos quippe infinitos esse, certissimum est; quoniam in quocumque numero finem faciendum putaueris, idem ipse, non dico uno addito augeri, sed quamlibet sit magnus et quamlibet ingentem multitudinem continens, in ipsa ratione atque scientia numerorum non solum duplicari, uerum etiam multiplicari potest. Ita uero suis quisque numerus proprietatibus terminatur, ut nullus eorum par esse cuicumque alteri possit. Ergo et dispares inter se atque diuersi sunt, et singuli quique finiti sunt, et omnes infiniti sunt.

Haec enim congruentia siue consonantia quod est unum ad duo, in omni compaginatione creaturae ualet plurimum. Hanc enim coaptationem dicere uolui quam graeci harmonian uocant. quantum ualeat consonantia simpli ad duplum, per hanc uoces acutiores grauioresque concordant. ipsis autem auribus exhiberi potest ab eo qui nouit in regulari monochordo.

Haec autem ratio simpli ad duplum oritur quidem a ternario numero; unum quippe ad duo tria sunt. Sed hoc totum quod dixi ad senarium peruenit; unum enim et duo et tria sex fiunt. Qui numerus propterea perfectum dicitur quia partibus suis completur; habet enim eas tres: sextam, tertiam, dimidiam. Sexta ergo eius unum est, tertia duo, dimidia tria. Vnum autem et duo et tria consummant eundem senarium. Haec autem mulier decem et octo annos habebat in infirmitate, quod est ter seni. menses trium annorum quadratum senarium faciunt, quod est sexies seni.

Quod enim ualent sex in primo ordine numerorum qui constat ex unis ut perueniatur ad decem, hoc ualent sexaginta in secundo ordine qui constat ex denis ut perueniatur ad centum. Sexagenarius ergo numerus dierum sexta pars anni est. Proinde per senarium primi uersus multiplicatur tamquam senarius secundi uersus et fiunt sexies sexageni, trecenti et sexaginta dies, qui sunt integri duodecim menses. restant autem quinque dies et quadrans diei ut sol impleat cursum suum annumque concludat; quattuor enim quadrantes faciunt unum diem quem necesse est intercalari excurso quadriennio quod bissextum uocant. totus enim dies, id est cum sua nocte, uiginti quattuor horae sunt quarum pars quarta qui est quadrans diei sex horae inueniuntur.

Quadraginta et sex annis aedificatum templum, et quadragies sexies seni fiunt ducenti septuaginta sex. Qui numerus dierum complet nouem menses et sex dies. ab illo ergo die usque ad istum computati ducenti septuaginta sex reperiuntur dies, qui senarium numerum quadragies sexies habet.

medius autem inter eos, id est secundus dies, absolute totus uiginti quattuor horis suis, duodecim nocturnis et duodecim diurnis. A uespera autem sepulturae usque ad diluculum resurrectionis triginta sex horae sunt, qui est quadratus senarius. Refertur autem ad illam rationem simpli ad duplum ubi est coaptationis maxima consonantia. Duodecim enim ad uiginti quattuor simplo ad duplum conueniunt et fiunt triginta sex. Etiam sic ergo apparet illa ratio simpli ad duplum in horis triginta sex cum duodecim ad uiginti quattuor conferuntur.

da mi basia mille, deinde centum, dein mille altera, dein secunda centum, deinde usque altera mille, deinde centum, dein, cum milia multa fecerimus, conturbabimus illa, ne sciamus, aut ne quis malus invidere possit, cum tantum sciat esse basiorum.

Casu, inquis. Itane vero? quicquam potest casu esse factum, quod omnes habet in se numeros veritatis? Quattuor tali iacti casu Venerium efficiunt; num etiam centum Venerios, si quadringentos talos ieceris, casu futuros putas?

condemnemus etiam Babylonem et eos, qui e Caucaso caeli signa servantes numeris et modis stellarum cursus persequuntur, condemnemus, inquam, hos aut stultitiae aut vanitatis aut inpudentiae, qui quadringenta septuaginta milia annorum, ut ipsi dicunt, monumentis conprehensa continent, et mentiri iudicemus nec, saeculorum reliquorum iudicium quod de ipsis futurum sit, pertimescere.

Solis defectiones itemque lunae praedicuntur in multos annos ab iis, qui siderum motus numeris persequuntur; ea praedicunt enim, quae naturae necessitas perfectura est. Vident ex constantissimo motu lunae, quando illa e regione solis facta incurrat in umbram terrae, quae est meta noctis, ut eam obscurari necesse sit, quandoque eadem luna subiecta atque opposita soli nostris oculis eius lumen obscuret, quo in signo quaeque errantium stellarum quoque tempore futura sit, qui exortus quoque die signi alicuius aut qui occasus futurus sit. Haec qui ante dicunt, quam rationem sequantur, vides.

Vim quandam esse aiunt signifero in orbe, qui Graece zwdiako/s dicitur, talem, ut eius orbis una quaeque pars alia alio modo moveat inmutetque caelum, perinde ut quaeque stellae in his finitumisque partibus sint quoque tempore, eamque vim varie moveri ab iis sideribus, quae vocantur errantia; cum autem in eam ipsam partem orbis venerint, in qua sit ortus eius, qui nascatur, aut in eam, quae coniunctum aliquid habeat aut consentiens, ea triangula illi et quadrata nominant.

Docet enim ratio mathematicorum, quam istis notam esse oportebat, quanta humilitate luna feratur terram paene contingens, quantum absit a proxuma Mercurii stella, multo autem longius a Veneris, deinde alio intervallo distet a sole, cuius lumine conlustrari putatur; reliqua vero tria intervalla infinita et inmensa, a sole ad Martis, inde ad Iovis, ab eo ad Saturni stellam, inde ad caelum ipsum, quod extremum atque ultumum mundi est.

Astrologi motus errantium stellarum notaverunt; inventus est enim ordo in iis stellis, qui non putabatur.

Itemque geometres non ita dicet: In sphaera maximi orbes medii inter se dividuntur, sed potius illo modo: Non et sunt in sphaera maximi orbes, et ii non medii inter se dividuntur.

sol Democrito magnus videtur, quippe homini erudito in geometriaque perfecto, huic pedalis fortasse; tantum enim esse censet, quantus videtur, vel paulo aut maiorem aut minorem.

sol duabus unius orbis ultimis partibus definiens motum cursus annuos conficit; huius hanc lustrationem eiusdem incensa radiis menstruo spatio luna complet; quinque autem stellae eundem orbem tenentes, aliae propius a terris aliae remotius, ab isdem principiis disparibus temporibus eadem spatia conficiunt.

conum tibi ais et cylindrum et pyramidem pulchriorem quam sphaeram videri. sed sint ista pulchriora dumtaxat aspectu—quod mihi tamen ipsum non videtur; quid enim pulchrius ea figura quae sola omnis alias figuras complexa continet, quaeque nihil asperitatis habere nihil offensionis potest, nihil incisum angulis nihil anfractibus, nihil eminens nihil lacunosum; cumque duae formae praestantissimae sint, ex solidis globus (sic enim sfai=ran interpretari placet), ex planis autem circulus aut orbis, qui ku/klos Graece dicitur, his duabus formis contingit solis ut omnes earum partes sint inter se simillumae a medioque tantum absit extremum, quo nihil fieri potest aptius. hanc aequabilitatem motus constantiamque ordinum in alia figura non potuisse servari?

Maxume vero sunt admirabiles motus earum quinque stellarum quae falso vocantur errantes; nihil enim errat quod in omni aeternitate conservat progressus et regressus reliquosque motus constantis et ratos. quod eo est admirabilius in is stellis quas dicimus, quia tum occultantur tum rursus aperiuntur, tum adeunt tum recedunt, tum antecedunt tum autem subsecuntur, tum celerius moventur tum tardius, tum omnino ne moventur quidem sed ad quoddam tempus insistunt. quarum ex disparibus motionibus magnum annum mathematici nominaverunt, qui tum efficitur cum solis et lunae et quinque errantium ad eandem inter se comparationem confectis omnium spatiis est facta conversio;

sphaeram aliquis tulerit hanc quam nuper familiaris noster effecit Posidonius, cuius singulae conversiones idem efficiunt in sole et in luna et in quinque stellis errantibus quod efficitur in caelo singulis diebus et noctibus, quis in illa barbaria dubitet quin ea sphaera sit perfecta ratione; et Archimedem arbitrantur plus valuisse in imitandis sphaerae conversionibus quam naturam in efficiendis;

ex aethere igitur innumerabiles flammae siderum existunt, quorum est princeps sol omnia clarissima luce conlustrans, multis partibus maior atque amplior quam terra universa, deinde reliqua sidera magnitudinibus inmensis.

Luna autem, quae est, ut ostendunt mathematici, maior quam dimidia pars terrae, isdem spatiis vagatur quibus sol, sed tum congrediens cum sole tum degrediens et eam lucem quam a sole accepit mittit in terras et varias ipsa lucis mutationes habet, atque etiam tum subiecta atque opposita soli radios eius et lumen obscurat, tum ipsa incidens in umbram terrae, cum est e regione solis, interpositu interiectuque terrae repente deficit.

Quocirca si mundus globosus est ob eamque causam omnes eius partes undique aequabiles ipsae per se atque inter se continentur, contingere idem terrae necesse est, ut omnibus eius partibus in medium vergentibus (id autem medium infimum in sphaera est) nihil interrumpat quo labefactari possit tanta contentio gravitatis et ponderum. Eademque ratione mare, cum supra terram sit, medium tamen terrae locum expetens conglobatur undique aequabiliter, neque redundat umquam neque effunditur.

ut geometrae solent non omnia docere, sed postulare, ut quaedam sibi concedantur, quo facilius, quae volunt, explicent.

Tum Philus: Nihil novi vobis adferam, neque quod a me sit cogitatum aut inventum; nam memoria teneo C. Sulpicium Gallum, doctissimum, ut scitis, hominem, cum idem hoc visum diceretur et esset casu apud M. Marcellum, qui cum eo consul fuerat, sphaeram, quam M. Marcelli avus captis Syracusis ex urbe locupletissima atque ornatissima sustulisset, cum aliud nihil ex tanta praeda domum suam deportavisset, iussisse proferri; cuius ego sphaerae cum persaepe propter Archimedi gloriam nomen audissem, speciem ipsam non sum tanto opere admiratus; erat enim illa venustior et nobilior in volgus, quam ab eodem Archimede factam posuerat in templo Virtutis Marcellus idem. Sed posteaquam coepit rationem huius operis scientissime Gallus exponere, plus in illo Siculo ingenii, quam videretur natura humana ferre potuisse, iudicavi fuisse. Dicebat enim Gallus sphaerae illius alterius solidae atque plenae vetus esse inventum, et eam a Thalete Milesio primum esse tornatam, post autem ab Eudoxo Cnidio, discipulo, ut ferebat, Platonis, eandem illam astris stellisque, quae caelo inhaererent, esse descriptam; cuius omnem ornatum et descriptionem sumptam ab Eudoxo multis annis post non astrologiae scientia, sed poetica quadam facultate versibus Aratum extulisse. Hoc autem sphaerae genus, in quo solis et lunae motus inessent et earum quinque stellarum, quae errantes et quasi vagae nominarentur, in illa sphaera solida non potuisse finiri, atque in eo admirandum esse inventum Archimedi, quod excogitasset, quem ad modum in dissimillimis motibus inaequabiles et varios cursus servaret una conversio. Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat, ut soli luna totidem conversionibus in aere illo, quot diebus in ipso caelo, succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio et incideret luna tum in eam metam, quae esset umbra terrae, cum sol e regione

cum obscurato sole tenebrae factae essent repente Atheniensiumque animos summus timor occupavisset, docuisse civis suos dicitur, id quod ipse ab Anaxagora, cuius auditor fuerat, acceperat, certo illud tempore fieri et necessario, cum tota se luna sub orbem solis subiecisset; itaque, etsi non omni intermenstruo, tamen id fieri non posse nisi certo intermenstruo tempore. Quod cum disputando rationibusque docuisset, populum liberavit metu; erat enim tum haec nova et ignota ratio, solem lunae oppositu solere deficere, quod Thaletem Milesium primum vidisse dicunt. Id autem postea ne nostrum quidem Ennium fugit; qui ut scribit, anno trecentesimo quinquagesimo fere post Romam conditam Nonis Iunis soli luna obstitit et nox. Atque hac in re tanta inest ratio atque sollertia, ut ex hoc die, quem apud Ennium et in maximis annalibus consignatum videmus, superiores solis defectiones reputatae sint usque ad illam, quae Nonis Quinctilibus fuit regnante Romulo;

quem cum ex alto ignotas ad terras tempestas et in desertum litus detulisset, timentibus ceteris propter ignorationem locorum animadvertisse dicunt in arena geometricas formas quasdam esse descriptas; quas ut vidisset, exclamavisse, ut bono essent animo; videre enim se hominum vestigia; quae videlicet ille non ex agri consitura, quam cernebat, sed ex doctrinae indiciis interpretabatur.

nunc rationem videtis esse talem, ut †equitum centuriae cum sex suffragiis et prima classis addita centuria, quae ad summum usum urbis fabris tignariis est data, lxxxviiii centurias habeat; quibus ex centum quattuor centuriis (tot enim reliquae sunt) octo solae si accesserunt, confecta est vis populi universa, relicuaque multo maior multitudo sex et nonaginta centuriarum neque excluderetur suffragiis, ne superbum esset, nec valeret nimis, ne esset periculosum.

Accessit eo numerus, res cum ad vitam necessaria, tum una inmutabilis et aeterna; quae prima inpulit etiam, ut suspiceremus in caelum nec frustra siderum motus intueremur dinumerationibusque noctium ac dierum

Quae cum intuerer stupens, ut me recepi, Quid? hic, inquam, quis est, qui conplet aures meas tantus et tam dulcis sonus? Hic est, inquit, ille, qui intervallis disiunctus inparibus, sed tamen pro rata parte ratione distinctis inpulsu et motu ipsorum orbium efficitur et acuta cum gravibus temperans varios aequabiliter concentus efficit; nec enim silentio tanti motus incitari possunt, et natura fert, ut extrema ex altera parte graviter, ex altera autem acute sonent. Quam ob causam summus ille caeli stellifer cursus, cuius conversio est concitatior, acuto et excitato movetur sono, gravissimo autem hic lunaris atque infimus; nam terra nona inmobilis manens una sede semper haeret complexa medium mundi locum. Illi autem octo cursus, in quibus eadem vis est duorum, septem efficiunt distinctos intervallis sonos, qui numerus rerum omnium fere nodus est;

Homines enim populariter annum tantum modo solis, id est unius astri, reditu metiuntur; cum autem ad idem, unde semel profecta sunt, cuncta astra redierint eandemque totius caeli discriptionem longis intervallis rettulerint, tum ille vere vertens annus appellari potest; in quo vix dicere audeo quam multa hominum saecula teneantur. Namque ut olim deficere sol hominibus exstinguique visus est, cum Romuli animus haec ipsa in templa penetravit, quandoque ab eadem parte sol eodemque tempore iterum defecerit, tum signis omnibus ad principium stellisque revocatis expletum annum habeto; cuius quidem anni nondum vicesimam partem scito esse conversam.

etenim γεωγραφικὰ quae constitueram magnum opus est. ita valde Eratosthenes, quem mihi proposueram, a Serapione et ab Hipparcho reprehenditur. quid censes si Tyrannio accesserit? et hercule sunt res difficiles ad explicandum

Veientem quidem agrum et Capenatem metiuntur ;

quid tandem huius censetis urbis quam ille ad explendas egestates latrocini sui concupivit, quam iam peritus metator et callidus decempeda sua Saxa diviserat?

quod omnes Siculi ex censu quotannis tributa conferunt, in censu habendo potestas omnis aestimationis habendae summaeque faciendae censori permittitur.

Quid potest sole maius, quem mathematici amplius duodeviginti partibus confirmant maiorem esse quam terram:

geometrae provideant, qui se profitentur non persuadere sed cogere, et qui omnia vobis quae describunt probant. non quaero ex his illa initia mathematicorum, quibus non concessis digitum progredi non possunt, punctum esse quod magnitudinem nullam habeat, extremitatem et quasi libramentum in quo nulla omnino crassitudo sit, liniamentum longitudinem sine ulla latitudine ** carentem. haec cum vera esse concessero, si adigam ius iurandum sapientem, nec prius quam Archimedes eo inspectante rationes omnes descripserit eas quibus efficitur multis partibus solem maiorem esse quam terrain

Omnia autem duo ad cohaerendum tertium aliquid anquirunt et quasi nodum vinculumque desiderant. Sed vinculorum id est aptissimum atque pulcherrimum, quod ex se atque de iis, quae stringit, quam maxime unum efficit. Id optime adsequitur, quae Graece a)nalogi/a, Latine (audendum est enim, quoniam haec primum a nobis novantur) conparatio proportiove dici potest.

Quando enim trium vel numerorum vel figurarum vel quorumcumque generum contingit ut, quod medium sit, ut ei primum proportione, ita id postremo comparetur, vicissimque, ut extremum cum medio, sic medium cum primo conferatur, id, quod medium est, tum primum fit, tum postremum, postrema autem et prima media fiunt; ita necessitas cogit, ut eadem sint ea, quae diiuncta fuerant; eadem autem cum facta sint, efficitur, ut omnia sint unum. Quodsi universi corpus planum et aequabile explicaretur neque in eo quicquam esset † requisitum, unum interiectum medium et se ipsum et ea, quibus esset interpositum, conligaret.

Sed cum soliditas mundo quaereretur, solida autem omnia uno medio numquam, duobus semper copulentur, ita contigit, ut inter ignem atque terram aquam deus animamque poneret eaque inter se conpararet et proportione coniungeret, ut, quem ad modum ignis animae, sic anima aquae, quodque anima aquae, id aqua terrae proportione redderet. Qua ex coniunctione caelum ita aptum est, ut sub aspectum et tactum cadat. Itaque et ob eam causam et ex iis rebus numero quattuor mundi est corpus effectum ea constrictum conparatione, qua dixi; ex quo ipse se concordi quadam amicitia et caritate conplectitur atque ita apte cohaeret, ut dissolvi nullo modo queat nisi ab eodem, a quo est conligatus.

Deinde instituit dupla et tripla intervalla explere partis rursus ex toto desecans; quas in intervallis ita locabat, ut in singulis essent bina media (vix enim audeo dicere medietates, quas Graeci meso/thtas appellant; sed quasi ita dixerim, intellegatur; erit enim planius), earum alteram eadem parte praestantem extremis eademque superatam, alteram pari numero praestantem extremis parique superatam. Sesquialteris autem intervallis et sesquitertiis et sesquioctavis sumptis ex his conligationibus in primis intervallis sesquioctavo intervallo sesquitertia omnia explebat, cum particulam singulorum relinqueret.

Eius autem particulae intervallo relicto habebat numerus ad numerum eandem proportionem conparationemque in extremis, quam habent ducenta quinquaginta sex cum ducentis quadraginta tribus, atque ita permixtum illud, ex quo haec secuit, iam omne consumpserat. Hanc igitur omnem coniunctionem duplicem in longitudinem diffidit mediaeque accommodans mediam quasi decussavit, deinde in orbem intorsit, ut et ipsae secum et inter se ex commissura, quae e regione esset, iungerentur, eoque motu, cuius orbis semper in eodem erat eodemque modo ciebatur, undique est eas circumplexus.

Atque ita cum alterum esset exteriorem, alterum interiorem amplexus orbem, illum eiusdem naturae, hunc alterius notavit eamque, quae erat eiusdem, detorsit a latere in dexteram partem, hanc autem citimam a mediana linea direxit ad laevam, sed principatum dedit superiori, quam solam individuam reliquit. Interiorem autem cum in sex partis divisisset, septem orbis dispares duplo et triplo intervallo moveri iussit contrariis inter se cursibus. Eorum autem trium fecit pares celeritates, sed quattuor et inter se dispares et dissimilis trium reliquorum.

Quando igitur sibi quodque eorum siderum cursum decorum est adeptum, ex quibus erat modus temporis consignandus, conligatisque corporibus vinculis animalibus animantia orta sunt eaque imperio parere didicerunt, tum ex alterius naturae motione transversa in eiusdem naturae motum incurrentia in eaque haerentia atque inpedita, cum alia maiorem lustrarent orbem, alia minorem, tardius quae maiorem, celerius quae minorem, motu unius eiusdemque naturae quae velocissime movebantur, ea celeritate vinci a tardioribus et, cum superabant, superari videbantur.

Omnis enim orbis eorum quasi helicae inflexione vertebat, quia bifariam contrarie simul procedentia efficiebant, ut, quod esset tardissimum, id proximum fieret celerrimo. Atque ut esset mensura quaedam evidens, quae in octo cursibus celeritates tarditatesque declararet, deus ipse solem quasi lumen accendit ad secundum supra terram ambitum, ut quam maxime caelum omnibus conluceret animantesque, quibus ius esset doceri, ab eiusdem motu et ab eius, quod simile esset, numerorum naturam vimque cognoscerent.

Ceterorum autem siderum ambitus ignorantes homines praeter admodum paucos neque nomine appellant neque inter se numero commetiuntur. Itaque nesciunt hos siderum errores id ipsum esse, quod rite dicitur tempus, multitudine infinita, varietate admirabili praeditos. Ac tamen illud perspici et intellegi potest, absoluto perfectoque numero temporis absolutum annum perfectumque tum compleri denique, cum se octo ambitus confectis suis cursibus ad idem caput rettulerunt, cumque eos permensus est idem et semper sui similis orbis.

Nunc vero dies noctesque oculis cognitae, tum mensum annorumque conversiones et numerum machinatae sunt et spatium temporis dimensae et ad quaestionem totius naturae inpulerunt.

in summo apud illos honore geometria fuit, itaque nihil mathematicis inlustrius; at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis terminavimus modum.

persuadent enim mathematici terram in medio mundo sitam ad universi caeli complexum quasi puncti instar optinere, quod ke/ntron illi vocant; eam porro naturam esse quattuor omnia gignentium corporum, ut, quasi partita habeant inter se ac divisa momenta, terrena et umida suopte nutu et suo pondere ad paris angulos in terram et in mare ferantur, reliquae duae partes, una ignea altera animalis, ut illae superiores in medium locum mundi gravitate ferantur et pondere, sic hae rursum rectis lineis in caelestem locum subvolent.

harmoniam autem ex intervallis sonorum nosse possumus, quorum varia compositio etiam harmonias efficit pluris.

nam in illo libro, qui inscribitur Menon, pusionem quendam Socrates interrogat quaedam geometrica de dimensione quadrati. ad ea sic ille respondet ut puer, et tamen ita faciles interrogationes sunt, ut gradatim respondens eodem perveniat, quo si geometrica didicisset.

nam cum Archimedes lunae solis quinque errantium motus in sphaeram inligavit, effecit idem quod ille, qui in Timaeo mundum aedificavit, Platonis deus, ut tarditate et celeritate dissimillimos motus una regeret conversio. quod si in hoc mundo fieri sine deo non potest, ne in sphaera quidem eosdem motus Archimedes sine divino ingenio potuisset imitari.

sed ab antiqua philosophia usque ad Socratem numeri motusque tractabantur, et unde omnia orerentur quove reciderent, studioseque ab is siderum magnitudines intervalla cursus anquirebantur et cuncta caelestia.

Verum tamen mathematicorum iste mos est, non est philosophorum. nam geometrae cum aliquid docere volunt, si quid ad eam rem pertinet eorum quae ante docuerunt, id sumunt pro concesso et probato, illud modo explicant, de quo ante nihil scriptum est.

Diodotus Stoicus caecus multos annos nostrae domi vixit. tum, quod sine oculis fieri posse vix videtur, geometriae munus tuebatur verbis praecipiens discentibus, unde quo quamque lineam scriberent.

Magi deinde suo more carmen canentes, post hos Chaldaei Babyloniorumque non vates modo, sed etiam artifices cum fidibus sui generis ibant: laudes hi regum canere soliti, Chaldaei siderum motus et statas vices temporum ostendere.

Plutarchus in libro quem de Herculis quam diu quam diu, Klotz; quantum, ω . inter homines fuit animi corporisque ingenio atque virtutibus conscripsit, scite subtiliterque ratiocinatum Pythagoram philosophum dicit in reperienda modulandaque status longitudinisque eius praestantia. Nam cum fere constaret, curriculum stadii quod est Pisis apud Iovem Olympium Herculem pedibus suis metatum idque fecisse longum pedes sescentos, cetera quoque stadia in terra Graecia ab aliis postea instituta pedum quidem esse numero sescentum, sed tamen esse aliquantulum breviora, facile intellexit, modum spatiumque plantae Herculis, ratione proportionis habita, tanto fuisse quam aliorum procerius, quanto Olympicum stadium longius esset quam cetera.

Haec ipsi vocant ἐπίπεδον καὶ στερεόν. Planum est quod in duas partis solum lineas habet, qua latum est et qua longum; qualia sunt triquetra et quadrata, quae in area fiunt, sine altitudine.

Solidum est quando non longitudines modo et latitudines planas plans numeri linearum efficiunt, sed etiam extollunt altitudines, quales sunt ferme metae triangulae quas pyramidas appellant, vel qualia sunt quadrata undique, quae, κύβους illi, nos quadrantalia dicimus.

Huius numeri cubum Pythagoras vim habere lunaris circuli dixit, quod et luna orbem suum lustret septem et viginti diebus et numerus ternio, qui τριὰς Graece dicitur, tantundem efficiat in cubo.

[1.20.7] Linea autem a nostris dicitur, quam γραμμὴν Graeci nominant. [1.20.8] Eam ea M., ω . corr. in ς M. Varro ita definit: Linea est, inquit, longitudo quaedam sine latitudine et altitudine.

Austri vero et Africi, ad meridianum orbis circulum et ad partem axis infimam depressi, inferiores et humiles, per supreme aequoris euntes protrudunt magis fluctus quam eruunt, et idcirco non desuper laesae, sed propulsae in adversum aquae, etiam desistente flatu, retinent aliquantisper de pristino pulsu impetum.

Quod ubi Protagoras, ut erat petitum, fecit atque itidem Democritus acervum ilium et quasi orbem caudicum, brevi vinculo comprehensum, ratione quadam quasi geometrica librari continerique animadvertit, interrogavit quis id lignum ita composuisset, et cum ille a se compositum dixisset, desideravit uti solveret ac denuo in modum eundem collocaret.

Sed id quod Archytam Pythagoricum commentum esse atque fecisse traditur, neque minus admirabile neque tamen vanum aeque videri debet. Nam et plerique nobilium Graecorum et Favorinus philosophus, memoriarum veterum exequentissimus, affirmatissime scripserunt simulacrum columbae e ligno ab Archyta ratione quadam disciplinaque mechanica factum volasse; ita erat scilicet libramentis suspensum et aura spiritus inclusa atque occulta concitum.

Nam si principes Chaldaei, qui in patentibus campis colebant, stellarum motus et vias et discessiones et coetus intuentes, quid ex his efficeretur observaverunt, procedat, inquit, haec sane disciplina, set sub ea modo inclinatione caeli, sub qua tunc Chaldaei fuerunt; non enim potest, inquit, ratio Chaldaeorum observationis manere, si quis ea uti velit sub diversis caeli regionibus. Nam quanta, inquit, partium circulorumque caeli ex devergentia et convexionibus mundi varietas sit, quis non videt?

[16.18.1] PARS quaedam geometriae ὀπτική appellatur quae ad oculos pertinet, pars altera, quae ad auris, κανονική vocatur, qua musici ut fundamento artis suae utuntur. [16.18.2] Utraque harum spatiis et intervallis linearum et ratione numerorum constat.

Rationem pontis hanc instituit. Tigna bina sesquipedalia paulum ab imo praeacuta dimensa ad altitudinem fluminis intervallo pedum duorum inter se iungebat.

[Sat. 9.39] haec tribui, deinde illa dedi, mox plura tulisti; [Sat. 9.40] computat, et cevet. ponatur calculus, adsint [Sat. 9.41] cum tabula pueri; numera sestertia quinque [Sat. 9.42] omnibus in rebus: numerentur deinde labores.

[10.248] felix nimirum, qui tot per saecula mortem [10.249] distulit atque suos iam dextra conputat annos.

Deprensum est, hunc esse locum, qua circulum alti Solstitii medium signorum percutit orbem.

Tum porro quoniam est extremum quodque cacumen corporis illius, quod nostri cernere sensus iam nequeunt, id ni mirum sine partibus extat et minima constat natura nec fuit umquam per se secretum neque post hac esse valebit, alterius quoniamst ipsum pars primaque et una, inde aliae atque aliae similes ex ordine partes agmine condenso naturam corporis explent; quae quoniam per se nequeunt constare, necessest haerere unde queant nulla ratione revelli. sunt igitur solida primordia simplicitate, quae minimis stipata cohaerent partibus arte. non ex illorum conventu conciliata, sed magis aeterna pollentia simplicitate, unde neque avelli quicquam neque deminui iam concedit natura reservans semina rebus. Praeterea nisi erit minimum, parvissima quaeque corpora constabunt ex partibus infinitis, quippe ubi dimidiae partis pars semper habebit dimidiam partem nec res praefiniet ulla. ergo rerum inter summam minimamque quod escit, nil erit ut distet; nam quamvis funditus omnis summa sit infinita, tamen, parvissima quae sunt, ex infinitis constabunt partibus aeque. quod quoniam ratio reclamat vera negatque credere posse animum, victus fateare necessest esse ea quae nullis iam praedita partibus extent et minima constent natura. quae quoniam sunt, illa quoque esse tibi solida atque aeterna fatendum. Denique si minimas in partis cuncta resolvi cogere consuesset rerum natura creatrix, iam nihil ex illis eadem reparare valeret propterea quia, quae nullis sunt partibus aucta, non possunt ea quae debet genitalis habere materies, varios conexus pondera plagas concursus motus, per quas res quaeque geruntur.

Sed quoniam docui solidissima materiai corpora perpetuo volitare invicta per aevom, nunc age, summai quaedam sit finis eorum necne sit, evolvamus; item quod inane repertumst seu locus ac spatium, res in quo quaeque gerantur, pervideamus utrum finitum funditus omne constet an immensum pateat vasteque profundum. Omne quod est igitur nulla regione viarum finitumst; namque extremum debebat habere. extremum porro nullius posse videtur esse, nisi ultra sit quod finiat, ut videatur quo non longius haec sensus natura sequatur. nunc extra summam quoniam nihil esse fatendum, non habet extremum, caret ergo fine modoque. nec refert quibus adsistas regionibus eius; usque adeo, quem quisque locum possedit, in omnis tantundem partis infinitum omne relinquit. Praeterea si iam finitum constituatur omne quod est spatium, si quis procurrat ad oras ultimus extremas iaciatque volatile telum, id validis utrum contortum viribus ire quo fuerit missum mavis longeque volare, an prohibere aliquid censes obstareque posse? alterutrum fatearis enim sumasque necessest. quorum utrumque tibi effugium praecludit et omne cogit ut exempta concedas fine patere. nam sive est aliquid quod probeat efficiatque quo minus quo missum est veniat finique locet se, sive foras fertur, non est a fine profectum. hoc pacto sequar atque, oras ubi cumque locaris extremas, quaeram: quid telo denique fiet? fiet uti nusquam possit consistere finis effugiumque fugae prolatet copia semper. Praeterea spatium summai totius omne undique si inclusum certis consisteret oris finitumque foret, iam copia materiai undique ponderibus solidis confluxet ad imum nec res ulla geri sub caeli tegmine posset nec foret omnino caelum neque lumina solis, quippe ubi materies omnis cumulata iaceret ex infinito iam tempore subsidendo. at nunc ni mirum requies data principiorum corporibus nullast, quia nil est funditus imum, quo quasi confluere et sedes ubi ponere possint. semper in adsiduo motu res quaeque geruntur partibus in cunctis, infernaque suppeditantur ex infinito cita corpora materiai. Postremo ante oculos res rem finire videtur; aer dissaepit collis atque aera montes, terra mare et contra mare terras terminat omnis; omne quidem vero nihil est quod finiat extra. est igitur natura loci spatiumque profundi, quod neque clara suo percurrere fulmina cursu perpetuo possint aevi labentia tractu nec prorsum facere ut restet minus ire meando; usque adeo passim patet ingens copia rebus finibus exemptis in cunctas undique partis. Ipsa modum porro sibi rerum summa parare ne possit, natura tenet, quae corpus inane et quod inane autem est finiri corpore cogit, ut sic alternis infinita omnia reddat, aut etiam alterutrum, nisi terminet alterum eorum, simplice natura pateat tamen inmoderatum, nec mare nec tellus neque caeli lucida templa nec mortale genus nec divum corpora sancta exiguum possent horai sistere tempus; nam dispulsa suo de coetu materiai copia ferretur magnum per inane soluta, sive adeo potius numquam concreta creasset ullam rem, quoniam cogi disiecta nequisset. nam certe neque consilio primordia rerum ordine se suo quaeque sagaci mente locarunt nec quos quaeque darent motus pepigere profecto sed quia multa modis multis mutata per omne ex infinito vexantur percita plagis, omne genus motus et coetus experiundo tandem deveniunt in talis disposituras, qualibus haec rerum consistit summa creata, et multos etiam magnos servata per annos ut semel in motus coniectast convenientis, efficit ut largis avidum mare fluminis undis integrent amnes et solis terra vapore fota novet fetus summissaque gens animantum floreat et vivant labentis aetheris ignes. quod nullo facerent pacto, nisi materiai ex infinito suboriri copia posset, unde amissa solent reparare in tempore quaeque. nam vel uti privata cibo natura animantum diffluit amittens corpus, sic omnia debent dissolui simul ac defecit suppeditare materies aliqua ratione aversa viai. nec plagae possunt extrinsecus undique summam conservare omnem, quae cumque est conciliata. cudere enim crebro possunt partemque morari, dum veniant aliae ac suppleri summa queatur; inter dum resilire tamen coguntur et una principiis rerum spatium tempusque fugai largiri, ut possint a coetu libera ferri. quare etiam atque etiam suboriri multa necessest, et tamen ut plagae quoque possint suppetere ipsae, infinita opus est vis undique materiai.

Quod quoniam docui, pergam conectere rem quae ex hoc apta fidem ducat, primordia rerum finita variare figurarum ratione. quod si non ita sit, rursum iam semina quaedam esse infinito debebunt corporis auctu. namque in eadem una cuiusvis iam brevitate corporis inter se multum variare figurae non possunt. fac enim minimis e partibus esse corpora prima tribus, vel paulo pluribus auge; nempe ubi eas partis unius corporis omnis, summa atque ima locans, transmutans dextera laevis, omnimodis expertus eris, quam quisque det ordo formai speciem totius corporis eius, quod super est, si forte voles variare figuras, addendum partis alias erit. inde sequetur, adsimili ratione alias ut postulet ordo, si tu forte voles etiam variare figuras. ergo formarum novitatem corporis augmen subsequitur. quare non est ut credere possis esse infinitis distantia semina formis, ne quaedam cogas inmani maximitate esse, supra quod iam docui non posse probari. iam tibi barbaricae vestes Meliboeaque fulgens purpura Thessalico concharum tacta colore, aurea pavonum ridenti imbuta lepore saecla novo rerum superata colore iacerent et contemptus odor smyrnae mellisque sapores, et cycnea mele Phoebeaque daedala chordis carmina consimili ratione oppressa silerent; namque aliis aliud praestantius exoreretur. cedere item retro possent in deteriores omnia sic partis, ut diximus in melioris; namque aliis aliud retro quoque taetrius esset naribus auribus atque oculis orisque sapori. quae quoniam non sunt, sed rebus reddita certa finis utrimque tenet summam, fateare necessest materiem quoque finitis differe figuris. denique ab ignibus ad gelidas hiemum usque pruinas finitumst retroque pari ratione remensumst. omnis enim calor ac frigus mediique tepores interutrasque iacent explentes ordine summam. ergo finita distant ratione creata, ancipiti quoniam mucroni utrimque notantur, hinc flammis illinc rigidis infesta pruinis. Quod quoniam docui, pergam conectere rem quae ex hoc apta fidem ducat, primordia rerum, inter se simili quae sunt perfecta figura, infinita cluere. etenim distantia cum sit formarum finita, necesse est quae similes sint esse infinitas aut summam materiai finitam constare, id quod non esse probavi. * * * versibus ostendam corpuscula materiai ex infinito summam rerum usque tenere undique protelo plagarum continuato. nam quod rara vides magis esse animalia quaedam fecundamque magis naturam cernis in illis, at regione locoque alio terrisque remotis multa licet genere esse in eo numerumque repleri; sicut quadripedum cum primis esse videmus in genere anguimanus elephantos, India quorum milibus e multis vallo munitur eburno, ut penitus nequeat penetrari: tanta ferarum vis est, quarum nos perpauca exempla videmus. sed tamen id quoque uti concedam, quam lubet esto unica res quaedem nativo corpore sola, cui similis toto terrarum non sit, in orbi; infinita tamen nisi erit vis materiai, unde ea progigni possit concepta, creari non poterit neque, quod super est, procrescere alique. quippe etenim sumant alii finita per omne corpora iactari unius genitalia rei, unde ubi qua vi et quo pacto congressa coibunt materiae tanto in pelago turbaque aliena? non, ut opinor, habent rationem conciliandi: sed quasi naufragiis magnis multisque coortis disiactare solet magnum mare transtra cavernas antemnas prorem malos tonsasque natantis, per terrarum omnis oras fluitantia aplustra ut videantur et indicium mortalibus edant, infidi maris insidias virisque dolumque ut vitare velint, neve ullo tempore credant, subdola cum ridet placidi pellacia ponti, sic tibi si finita semel primordia quaedam constitues, aevom debebunt sparsa per omnem disiectare aestus diversi materiai, numquam in concilium ut possint compulsa coire nec remorari in concilio nec crescere adaucta; quorum utrumque palam fieri manifesta docet res, et res progigni et genitas procrescere posse. esse igitur genere in quovis primordia rerum infinita palam est, unde omnia suppeditantur. Nec superare queunt motus itaque exitiales perpetuo neque in aeternum sepelire salutem, nec porro rerum genitales auctificique motus perpetuo possunt servare creata. sic aequo geritur certamine principiorum ex infinito contractum tempore bellum. nunc hic nunc illic superant vitalia rerum et superantur item. miscetur funere vagor, quem pueri tollunt visentis luminis oras; nec nox ulla diem neque noctem aurora secutast, quae non audierit mixtos vagitibus aegris ploratus, mortis comites et funeris atri. Illud in his obsignatum quoque rebus habere convenit et memori mandatum mente tenere, nil esse, in promptu quorum natura videtur, quod genere ex uno consistat principiorum, nec quicquam quod non permixto semine constet. et quod cumque magis vis multas possidet in se atque potestates, ita plurima principiorum in sese genera ac varias docet esse figuras.

Nec ratio solis simplex et recta patescit, quo pacto aestivis e partibus aegocerotis brumalis adeat flexus atque inde revertens canceris ut vertat metas ad solstitialis, lunaque mensibus id spatium videatur obire, annua sol in quo consumit tempora cursu.

[3.121] annus erat, decimum cum luna receperat orbem: [3.122] hic numerus magno tunc in honore fuit; [3.123] seu quia tot digiti, per quos numerare solemus, [3.124] seu quia bis quinto femina mense parit, [3.125] seu quod adusque decem numero crescente venitur,

in medio duo signa, Conon, et—quis fuit alter, descripsit radio totum qui gentibus orbem, tempora quae messor, quae curvus arator haberet?

[1.131] nec qui abaco numeros et secto in pulvere metas [1.132] scit risisse vafer.

Non didici geometrias, critica et alogias nenias, sed lapidarias litteras scio, partes centum dico ad aes, ad pondus, ad nummum.

[2.2.202] pectus digitis pultat, cor credo evocaturust foras; [2.2.203] ecce avortit: nixus laevo in femine habet laevam manum, [2.2.204] dextera digitis rationem computat, ferit femur [2.2.205] dexterum. ita vehementer icit: quod agat aegre suppetit. [2.2.206] concrepuit digitis: laborat; crebro commutat status.

Esto, si venit tantum; at ille etiam proximus toro sedit, quo die qua hora nata esset interrogavit. Ubi audiit, componit vultum intendit oculos movet labra, agitat digitos computat. Nihil. Ut diu miseram exspectatione suspendit, 'habes' inquit 'climacterium tempus sed evades.

Intervenit enim acribus illis et erectis frequens necessitas computandi ac paene calculos tabulamque poscendi, ut repente in privati iudicii formam centumvirale vertatur.

Cum vellem, domine, Apameae cognoscere publicos debitores et reditum et impendia, responsum est mihi cupere quidem universos, ut a me rationes coloniae legerentur, numquam tamen esse lectas ab ullo proconsulum; habuisse privilegium et vetustissimum morem arbitrio suo rem publicam administrare.

nam quid, inquiunt, ad agendam causam dicendamve sententiam pertinet, scire, quemadmodum data linea constitui triangula aequis lateribus possint? aut quo melius vel defendet reum vel reget consilia, qui citharae sonos nominibus et spatiis distinxerit?

nec sine causa summi viri etiam impensam huic scientiae operam dederunt. nam cum sit geometria divisa in numeros atque formas, numerorum quidem notitia non oratori modo, sed cuicunque saltem primis litteris erudito necessaria est. in causis vero vel frequentissime versari solet; in quibus actor, non dico, si circa summas trepidat, sed si digitorum saltem incerto aut indecoro gestu a computatione dissentit, iudicatur indoctus.

iam primum ordo est geometriae necessarius; ex prioribus geometria probat insequentia, ex certis incerta; illa propositarum quaestionum conclusio non fere tota constat syllogismis?

[1.10.39] falsa quoque veris similia geometrica ratione deprehendit. fit hoc et in numeris per quasdam, quas ψευδογραφίας vocant, quibus pueri ludere solebamus. sed alia maiora sunt. nam quis non ita proponenti credat? quorum locorum extremae lineae eandem mensuram colligunt, eorum spatium quoque, quod iis lineis continetur, par sit necesse est. [1.10.41] ideoque illa circumcurrens linea si efficiet orbem, quae forma est in planis maxime perfecta, amplius spatium complectetur quam si quadratum paribus oris efficiat, rursus quadrata triangulis, triangula ipsa plus aequis lateribus quam inaequalibus. [1.10.44] si vero porrecti utrinque undeviceni singulis distent, non plures intus quadratos habebunt, quam per quot longitudo ducetur; quae circumibit autem linea, eiusdem spatii erit, cuius ea quae centum continet. ita quidquid formae quadrati detraxeris, amplitudini quoque peribit.

quid quod se eadem geometria tollit ad rationem usque mundi? in qua, cum siderum certos constitutosque cursus numeris docet, discimus nihil esse inordinatum atque fortuitum.

Ἀναλογίαν quidam a simili separaverunt, nos eam subiectam huic generi putamus. nam, ut unum ad decem, ita decem ad centum simile certe est.

Utrum maiorem an minorem circulum scribas, ad spatium eius pertinet, non ad formam. Licet alter diu manserit, alterum statim obduxeris et in eum in quo scriptus est pulverem sol veris, in eadem uterque forma fuit.

Metiri me geometres docet latifundia. Numerare docet me et avaritiae commodat digitos; non esse feliciorem, cuius patrimonium tabularios lassat, immo quam supervacua possideat, qui infelicissimus futurus est, si quantum habeat per se conputare cogetur.

Quid mihi prodest scire agellum in partes dividere, si nescio cum fratre dividere? Quid prodest colligere subtiliter pedes iugeri et conprendere etiam si quid decempedam effugit, si tristem me facit vicinus inpotens et aliquid ex meo abradens? Docet quomodo nihil perdam ex finibus meis; at ego discere volo, quomodo totos hilaris amittam.

Scis rotunda metiri, in quadratum redigis quamcumque acceperis formam, intervalla siderum dicis, nihil est, quod in mensuram tuam non cadat. Scis, quae recta sit linea.

Sapiens enim causas naturalium et quaerit et novit, quorum numeros mensurasque geometres persequitur et subputat. cursus et recursus et quasdam observationes, per quas descendunt et adlevantur ac speciem interdum standum praebent, cum caelestibus stare non liceat, colligit mathematicus.

illud tibi geometres potest dicere, quantum abesse debeat corpus ab imagine et qualis forma speculi quales imagines reddat. Magnum esse solem philosophus probabit; quantus sit, mathematicus, qui usu quodam et exercitatione procedit.

mathematice, ut ita dicam, superficiaria est, in alieno aedificat. Accipit prima, quorum beneficio ad ulteriora perveniat.

Democritus, inquit, invenisse dicitur fornicem, ut lapidum curvatura paulatim inclinatorum medio saxo alligaretur. Hoc dicam falsum esse; necesse est enim ante Democritum et pontes et portas fuisse, quarum fere summa curvantur.

Hoc sic colligunt: pelues, inquiunt, mille sereno die porte, omnes habebunt imagines solis; in singulis foliis dispone guttas, singulae habebunt imaginem solis. At contra ingens stagnum non amplius habebit quam unam imaginem. Quare? Quia omnis circumscripta leuitas et circumdata suis finibus speculum est. Itaque piscinam ingentis magnitudinis insertis parietibus diuide, totidem illa habebit imagines solis, quot lacus habuerit; relinque illam sic ut est: diffusa semel tibi imaginem reddet.

Parianus Artemidorus adicit etiam, quale genus nubis esse debeat, quod talem solis imaginem reddit: Si speculum, inquit, concauum feceris, quod sit sectae pilae pars, si extra medium constiteris, quicumque iuxta te steterint, inuersi tibi uidebuntur et propiores a te quam a speculo;

In eadem sententia sum qua Posidonius, ut arcum iudicem fieri nube formata in modum concaui speculi et rotundi, cui forma sit partis e pila secta. Hoc probari, nisi geometrae adiuuerint, non potest, qui argumentis nihil dubii relinquentibus docent solis illam esse effigiem non similem. Neque enim omnia ad uerum specula respondent.

Possum et hoc modo differentiam omnium reddere: coronam si diuiseris, arcus erit; si direxeris, uirga.

Quotiens defectionem solis uolumus deprehendere, ponimus pelues, quas aut oleo aut pice implemus, quia pinguis umor minus facile turbatur et ideo quas recipit imagines seruat; apparere autem imagines non possunt nisi in liquido et immoto. Tunc solemus notare, quemadmodum luna soli se opponat et illum tanto maiorem obiecto corpore abscondat, modo ex parte, si ita competit, ut in latus eius incurreret, modo totum; haec dicitur perfecta defectio, quae stellas quoque ostendit et intercipit lucem, tunc scilicet cum uterque orbis sub eodem libramento stetit.

Praeterea duorum siderum occursum, quo interpolari dies solet, non uideremus nec scire possemus, quid esset, nisi liberius humi solis lunaeque imagines uideremus.

secure spectat occasus siderum atque ortus, et tam diuersas concordantium uias. Obseruat, ubi quaeque stella primum terris lumen ostendat, ubi culmen eius summum, qua cursus sit, quousque descendat. Curiosus spectator excutit singula, et quaerit.

Hoc est cur quaedam tigna supra aquam paene tota efferantur, quaedam ad medium submissa sint, quaedam ad aequilibrium aquae descendant. Namque cum utriusque pondus par est, neutra res alteri cedit, grauiora descendunt, leuiora gestantur. Graue autem et leue est non aestimatione nostra, sed comparatione eius, quo uehi debet.

Si quis excelsa perlibret, maria paria sunt: nam par undique sibi ipsa tellus est (caua eius et plana inferiora sunt, sed istis adeo in rotundum orbis aequatus est); in parte autem eius et maria sunt, quae in unius aequalitatem pilae coeunt. Sed quemadmodum campos intuentem quae paulatim deuexa sunt fallunt, sic non intellegimus curuaturas maris et uidetur planum quicquid apparet. At illud aequale terris est ideoque, ut effluat, non magna mole se tollet, dum satis est illi, ut supra paria ueniat; leuiter exsurgere; nec a litore, ubi inferius est, sed a medio, ubi ille cumulus est, defluit.

Ergo ut solet aestus aequinoctilis sub ipsum lunae solisque coitum omnibus aliis maior undare, sic hic, qui ad occupandas terras emittitur, solitis maximisque uiolentior, plus aquarum trahit. Per centena milia quibusdam locis aestus excurrit innoxius et ordinem seruat (ad mensuram enim crescit iterumque decrescit).

Quantum creuit Nilus, tantum spei in annum est; nec computatio fallit agricolam, adeo ad mensuram fluminis terra respondet. Itaque quicquid non adiuit, sterile ac squalidum iacet; si creuit super debitum, nocuit.

Pilae proprietas est cum aequalitate quadam rotunditas, aequalitatem autem hanc accipe quam uides in lusoria pila: non multum illi commissurae et rimae nocent quo minus par sibi ab omni parte dicatur. Quomodo in hac pila nihil illa interualla officiunt ad speciem rotundi, sic ne in uniuerso quidem orbe terrarum editi montes, quorum altitudo totius mundi collatione consumitur.

at quisquis mundum mensura sua aestimauerit et terram cogitauerit tenere puncti locum, intelleget nihil in illa posse ita eminere, ut caelestia magis sentiat, uelut in propinquum illis accesserit.

[5.17.2] Caelum autem diuiditur in circulos quinque, qui per mundi cardines eunt: est septemtrionalis, est solstitialis, est aequinoctialis, est brumalis, est contrarius septemtrionali. His sextus accedit, qui superiorem partem mundi ab inferiore secernit (ut scis enim, dimidia pars mundi semper supra, dimidia infra est). [5.17.3] hanc lineam, quae inter aperta et occulta est, id est hunc circulum Graeci horizonta uocant, nostri finitorem esse dixerunt, alii finientem. Adiciendus est adhuc meridianus circulus, qui horizonta rectis angulis secat. [5.17.4] ergo horizon, siue finiens circulus, quinque illos orbes quos modo dixi finiens, efficit decem partes, quinque ab ortu, quinque ab occasu; meridianus circulus, qui in horizonta incurrit, regiones duas adicit: sic duodecim aer discrimina accipit et totidem facit uentos.

omnes hae stellae, quarum iniri non potest numerus, omnis hic caelestium coetus et, ut alia praeteream, hic tam prope a nobis agens cursum sol, omni terrarum ambitu non semel maior.

sol totidem, ut ita dicam, gradus quot dies habet et annum circuitu suo claudit, quod a solstitio ad minuendos dies uertitur, quod ab aequinoctio statim inclinat et dat noctibus spatium, quod lunam numquam implet nisi aduersam sibi nec obscurat nisi uicinam.

Necessarium est autem ueteres ortus cometarum habere collectos. Deprehendi enim propter raritatem eorum cursus adhuc non potest, nec explorari an uices seruent et illos ad suum diem certus ordo producat. Noua haec caelestium obseruatio est et nuper in Graeciam inuecta.

Conon postea, diligens et ipse inquisitor, defectiones quidem solis seruatas ab Aegyptiis collegit, nullam autem mentionem fecit cometarum, non praetermissurus, si quid explorati apud illos comperisset.

Credamus ignem circumacto turbine accendi et hunc expulsum in sublime praebere nobis opinionem speciemque sideris longi: puto, talis esse debet quale est id quod ignem efficit; turbinis autem rotunda facies est (in eodem enim uestigio uersatur et columnae modo circumagentis se uoluitur): ergo ignem quoque qui inclusus est similem esse illi oportet, atqui longus est et disiectus minimeque similis in orbem coacto.

Saturnus aliquando supra Iouem est et Mars Uenerem aut Mercurium recta linea despicit, nec tamen propter hunc illorum concursum, cum alter alterum subit, cometes fit.

Si cometen faceret stella stellae superueniens, momento esse desineret. Summa enim uelocitas transeuntium est, ideoque omnis defectio siderum breuis est, quia cito illa idem cursus qui admouerat abstrahit; uidemus solem et lunam intra exiguum tempus, cum obscurari coeperunt, liberari: quanto celerior debet fieri in stellis digressio tanto minoribus? Atqui cometae senis mensibus manent, quod non accideret, si duarum stellarum conuentu gignerentur: illae enim diu cohaerere non possunt et necesse est illas lex celeritatis suae separet.

cometes potest sic alium habere circulum ut in hunc tamen parte aliqua sui incidat, quod fieri non est necessarium sed potest.

Stellae, inquit, omnes rotundae sunt, cometae porrecti, ex quo apparet stellas non esse. Quis enim tibi concedit cometas longos esse? Quorum natura quidem, ut ceterorum siderum, globus est, ceterum fulgor extenditur. Quemadmodum sol radios suos longe lateque dimittit, ceterum ipsi alia est forma, alia ei quod ex ipso fluit lumini, sic cometarum corpus ipsum corrotundatur, splendor autem longior quam ceterorum siderum apparet.

nec dierum numerum, ut nos, sed noctium computant. sic constituunt, sic condicunt.

atque omnium primum ad cursus lunae in duodecim menses discribit annum; quem, quia tricenos dies singulis mensibus luna non explet, desuntque dies solido anno, qui solstitiali circumagitur orbe, intercalariis mensibus interponendis ita dispensavit, ut vicesimo anno ad metam eandem solis, unde orsi essent, plenis omnium annorum spatiis dies congruerent.

adversus hunc navalem apparatum Archimedes variae magnitudinis tormenta in muris disposuit. in eas, quae procul erant, navis saxa ingenti pondere emittebat, propiores levioribus eoque magis crebris petebat telis;

Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu intentum formis, quas in pulvere descripserat.

at is, dum animo et oculis in terra defixis formas describit, militi, qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput gladio quisnam esset interrogabat, propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen suum indicare non potuit, sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'.

Sed ut alienigena scrutemur, cum obscurato repente sole inusitatis perfusae tenebris Athenae solli ci tudine angerentur, interitum sibi caelesti denuntiatione portendi credentes, Pericles processit in medium et quae a praeceptore suo Anaxagora pertinentia ad solis et lunae cursum acceperat disseruit nec ulterius trepidare ciues suos uano metu passus est.